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Weiterdenken · Mathematik
Satz des Pythagoras
Eine Forscheraufgabe und ihre Lösung.
Endet Eda als Sieger oder als Fladen?
Es ist Freitagabend und in 12 Stunden beginnt auf dem Platz das Training der Fußballer.
Zwei Schnecken wetten, wer als Erste bei dem Pilz auf der anderen Seite des Platzes ankommt. Beide schaffen ein Tempo von 10 m/h. Der Platz misst 100 × 65 m.
Ota geht auf Nummer sicher – er läuft außen an den Seiten entlang.
Eda nimmt die Abkürzung – er kriecht quer über den Platz. Aber wenn er es nicht bis zum Morgentraining schafft…
Ota geht an den Seiten entlang
Er umrundet zwei Seiten des Platzes.
- Strecke
- 65 + 100 = 165 m
- Zeit bei einem Tempo von 10 m/h
- 165 ÷ 10 = 16,5 Stunden
Ota schafft es nicht.
Eda geht quer über den Platz
Er kriecht direkt über die Diagonale, die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Wir benutzen den Satz des Pythagoras:
- Länge der Hypotenuse
- c = √(65² + 100²)
- Die Quadrate
- 65² = 4 225 · 100² = 10 000
- Summe
- 14 225
- Quadratwurzel
- √14 225 ≈ 119,3 m
- Zeit
- 119,3 ÷ 10 ≈ 11,9 Stunden
Eda kommt in weniger als 12 Stunden an.
Wer hat gewonnen?
Eda ist als Sieger durchs Ziel! Und genau der Satz des Pythagoras hat uns das ausrechnen lassen.
Denk weiter
- 1
Zeig auf dem Koumio® board die drei Quadrate – ein großes und zwei kleinere.
- 2
Erforsche das Dreieck. Schau dir die Bezeichnungen seiner Seiten an: Hypotenuse c, Kathete a, Kathete b. Welche zwei Seiten schließen den rechten Winkel ein?
- 3
Lege alle roten Teile in die Fläche des größten Quadrats – oder
- 4
Lege alle roten Teile in die Flächen der beiden kleineren Quadrate.
- 5
Überlege was uns die drei Quadrate über das rechtwinklige Dreieck verraten.
Was hast du herausgefunden
Versuch zuerst selbst zu antworten. Die Antwort versteckt sich unter dem Knopf.
Das Dreieck in der Mitte ist rechtwinklig. Das heißt, einer seiner Winkel misst genau 90°. Die Seiten haben Namen: a – Kathete, b – Kathete, c – Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Und sie ist immer die längste Seite.
Denk mal nach: Kann ein rechtwinkliges Dreieck gleichzeitig einen stumpfen Winkel haben? Kann es nicht – denn ein Winkel nimmt schon 90° ein.
Über jeder Seite des Dreiecks steht ein Quadrat. Über der Seite a ein Quadrat mit dem Flächeninhalt a², über der Seite b eines mit b², über der Seite c eines mit c².
Und jetzt kommt die Entdeckung. Wenn du die roten Teile zusammensetzt, füllen sie entweder das eine große Quadrat oder zusammen beide kleineren. Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist genau derselbe wie die Summe der Flächeninhalte der beiden kleineren. Das ist der Satz des Pythagoras: a² + b² = c².
Er gilt für jedes rechtwinklige Dreieck. Genau wie Pythagoras hast du herausgefunden, dass beim rechtwinkligen Dreieck die Quadrate über den kürzeren Seiten (den Katheten) zusammen dieselbe Fläche haben wie das Quadrat über der längsten Seite (der Hypotenuse).
Was hast du gerade entdeckt?
- Der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist derselbe wie die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten.
- Der Satz des Pythagoras hilft, echte Entfernungen zu berechnen.
Das ist Mathematik, die in der echten Welt funktioniert.
Wozu ist das gut?
Wenn du die Längen von zwei Seiten kennst, kannst du die dritte ausrechnen. Man benutzt das:
- beim Bauen von Häusern
- beim Messen von Entfernungen
Weitere Neugierfragen
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